1. Я должен говорить здесь об общих определениях в математических науках; по крайней мере к этому меня обязывает название настоящей главы. Но мне невозможно будет оставаться в рамках предмета в такой мере, в какой это требовалось бы правилом единства действия; я не смогу трактовать вопроса, не затрагивая отчасти других ближайших вопросов, и потому прошу простить мне уклонения вправо и влево, которые встретятся в дальнейшем.
Что разумеют под хорошим определением? Для философа или для ученого это есть определение, которое приложимо ко всем определяемым предметам и только к ним; такое определение удовлетворяет правилам логики. Но при преподавании дело обстоит иначе. Здесь хорошим определением будет то, которое понято учениками.
Чем объяснить, что многие умы отказываются понимать математику? Не парадоксально ли это? В самом деле, вот наука, которая апеллирует только к основным принципам логики, например к принципу противоречия, апеллирует к тому, что составляет, так сказать, скелет нашего разумения, к тому, от чего нельзя отказаться, не отказываясь вместе с тем от самого мышления, и все же встречаются люди, которые находят эту науку темной! И этих людей большинство! Пусть бы они оказались неспособными изобре...
Можно ли математику свести к логике, не обращаясь предварительно к тем принципам, которые ей, математике, свойственны? Существует школа математиков, которая со всей страстью и верой в дело стремится доказать это. Она выработала специальный язык, в котором нет больше слов, а имеются одни только знаки. Этот язык понятен только немногим посвященным, так что профаны склонны преклоняться перед категорическими утверждениями горячих адептов. Небесполезно, однако, ближе исследовать эти утверждения, чтобы убедиться, насколько оправдывается тот категорический тон, с которым они высказываются.
Но чтобы понять сущность вопроса, необходимо познакомиться с историческими деталями дела и в особенности вспомнить характер работ Кантора.
Понятие бесконечности уже давно было введено в математику. Но эта бесконечность была такой, какую философы называют потенциальной. В математике бесконечность обозначала количество, способное расти выше или ниже какого бы то ни было предела; это было изменяющееся количество, о котором можно было сказать, что оно перейдет все пределы, но нельзя было сказать, что оно их перешло. Кантор решил ввести в математику актуальную бесконечность, т. е. количество, не только способное перейти все пределы, но...
Чтобы оправдать свои притязания, логика должна была преобразоваться. Народились новые логики, среди которых наиболее интересной является логика Рассела. Казалось бы, что в области формальной логики ничего нового нельзя сказать и что Аристотель давно узрел ее основы. Но поле действия, которое Рассел отводит логике, бесконечно шире, чем поле классической логики, и Рассел сумел высказать в этом отношении оригинальные и часто правильные взгляды.
Между тем как логика Аристотеля была преимущественно логикой классов и за исходную точку брала отношение субъекта к предикату, Рассел прежде всего подчиняет логику классов логике предложений. Классический силлогизм «Сократ — человек и т. д.» уступает место гипотетическому силлогизму: если A истинно, то В истинно, но если В истинно, то С истинно и т. д.; и эта идея, на мой взгляд, одна из наиболее счастливых, ибо классический силлогизм легко свести к гипотетическому, тогда как обратное превращение представляет затруднение.
Но это не все: логика предложений Рассела есть этюд о законах, по которым комбинируются союзы «если», «и», «или» и отрицание «не». Это значительное расширение старой логики. Свой-тва ...
Логистики пытались ответить на все приведенные выше соображения. Для такого ответа им надобно было преобразовать логистику (1), и Рассел в особенности видоизменил в некоторых отношениях первоначальные ее точки зрения. Не входя в детали дела, я хочу остановиться только на двух вопросах, на мой взгляд, наиболее важных.
Дали ли правила логистики действительно доказательства своей плодотворности и непогрешимости? Верно ли, что они имеют возможность доказать принцип полной индукции, совершенно не обращаясь к интуиции?
II
Непогрешимость логистики
Что касается плодотворности, то Кутюра, по-видимому, строит наивные иллюзии. Логистика, по его мнению, дает изобретательности в ее распоряжение «леса и крылья». А на следующей, странице он говорит: «десять лет тому назад Пеано опубликовал первое издание своего «Formulaire» (2).
Как, уже десять лет, как вы имеете крылья, и вы еще не полетели!
Я питаю величайшее уважение к Пеано, который сделал превосходные работы (например, его кривая, которая заполняет целую площадь), но в конце концов он не ушел ни дальше, ни выше, ни быстрее, чем большая часть бескрылых математиков, и этот путь он мог бы ведь проделать так же хорошо на своих...
