ГЛАВА IX.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОСТРОГО УГЛА.
На основании равенства и подобия треугольников мы имели возможность решить ряд задач, связанных с определением расстояний, измерить которые непосредственно не представлялось возможным. Например, мы находили расстояние до недоступной точки, высоту предметов, расстояние между пунктами, разделёнными каким-нибудь препятствием, и т. д.
Такие работы имеют большое практическое значение, однако при их выполнении мы получали недостаточно точные результаты. Если результаты, полученные нами, могли удовлетворять нас, когда мы имели дело с фигурами небольших размеров, то они совершенно не могли бы удовлетворить нас в силу своей неточности, если бы мы имели дело с фигурами, имеющими большие размеры. Кроме того, без угломерного инструмента мы не в состоянии были находить размеры углов, имея в своём распоряжении только лишь длину тех или иных отрезков; например, по длине сторон произвольного треугольника мы не могли определять величину его углов.
Однако в математической науке существуют такие приёмы, которые обеспечивают необходимую точность измерений, несмотря на значительные размеры избранных для измерения расстояний, а кроме того, дают возможность по длине тех или иных отрезков определять размеры нужных нам углов и длины неизвестных отрезков.
Овладение такими приёмами связано с изучением так называемых тригонометрических функций. К ознакомлению с некоторыми из них мы и переходим.
§ 94. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.
1. Соответствие между отношением сторон и величиной
острых углов в прямоугольном треугольнике.
Пусть имеется какой-нибудь произвольный острый угол, например / ВАС = α (черт. 388). На стороне AB возьмём произвольную точку М и опустим из неё перпендикуляр MN на сторону АС. Получим прямоугольный треугольник MAN.
Черт. 388
Возьмём отношения его сторон попарно:
| MN AM |
(отношение катета, противолежащего углу α , к гипотенузе); |
| AN AM |
(отношение катета, прилежащего к углу α , к гипотенузе); |
| MN AN |
(отношение катета, противолежащего углу α , к катету прилежащему); |
| AM MN |
(отношение гипотенузы к катету, противолежащему углу α ); |
| AM AN |
(отношение гипотенузы к катету, прилежащему к углу α ); |
| AN MN |
(отношение катета, прилежащего к углу α , к катету противолежащему). |
|
Мы получили 6 отношений. Величина этих отношений не зависит от того, где на стороне АВ мы возьмём точку М. Так, если вместо точки М мы возьмём на стороне АВ какую-нибудь точку М' , то новый треугольник AM'N' будет подобен треугольнику MAN и потому ни одно из отношений не изменится. Значит, взятому углу α соответствуют одни и те же определённые значения каждого из отношений. |
|
Возьмём теперь другой острый угол, / В'АС = ß (например, больший угла α), и на стороне АВ' отметим точку Р так, чтобы АР = AM (черт.389).
Черт. 389
Как увидим ниже, подобный выбор точки Р не повлияет на общность рассуждений. Опустив из точки Р перпендикуляр PD на сторону АС, получим прямоугольный треугольник APD.
Составим отношения сторон этого треугольника в том же порядке, как и для треугольника MAN:
| PD AP |
AD AP |
PD AD |
AP PD |
AP AD |
AD PD |
Эти отношения не изменятся, если точку Р переместим в любую точку Р' луча АВ'. Значит, взятому значению угла ß соответствует определённое значение каждого из отношений.
Однако если мы сравним значения соответствующих отношений для угла α и для угла ß, то увидим, что они различны:
| PD AP |
 |
MN AM |
так как АР = AM, a PD > MN; |
| AD AP |
|
AN AM |
так как АР = AM, a AD < AN; |
| PD AD |
|
MN AN |
так как PD > MN и AD < AN и, следовательно,первое отношение больше второго и т. д. |
Таким образом, выходит, что каждому размеру острого угла соответствует определённое значение каждого отношения сторон.
Справедливо и обратное утверждение: каждому значению отношения сторон соответствует определённый размер угла.
На этом основании можно считать, что отношения сторон прямоугольного треугольника являются функциями его острого угла. Эти функции называются тригонометрическими функциями угла.
Перейдём к более подробному их рассмотрению.
2. Определение тригонометрических функций.
Возьмём прямоугольный треугольник ABC и обозначим его стороны буквами a, b и с
(черт.390). Рассмотрим сначала функции угла А.
Черт. 390
|
Отношение Отношение Отношение Отношение Отношение Отношение Наиболее употребительными являются первые четыре функции: синус, косинус, тангенс и котангенс. Эти функции угла A обозначаются так: sin / A, cos / A, tg / A и ctg / A;
|
называется синусом угла А, 
называется косинусом угла А, 
называется тангенсом угла А, 
называется котангенсом угла А,
называется секансом угла А.
называется косекансом угла А.
; 
; 
; 
.Установим теперь функции для / В:
| b c |
- синус угла В, |
b c |
= |
sin / B |
| a c |
- косинус угла В, |
a c |
= |
cos / B |
| b a |
- тангенс угла В, |
b a |
= |
tg / B |
| a b |
- котангенс угла В |
a b |
= |
ctg / B |
Упражнения.
1. Начертить прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см. Вычислить с помощью теоремы Пифагора длину гипотенузы, а затем синус, косинус, тангенс и котангенс острых углов треугольника.
2. Начертить прямоугольный треугольник ABC с катетами: АС = 18 мм, ВС= 24 мм, вычислить с помощью теоремы Пифагора длину гипотенузы АВ и найти синус, косинус, тангенс и котангенс угла А, а затем синус, косинус, тангенс и котангенс угла В.
3. Начертить
произвольный прямоугольный
треугольник, измеритьегостороны в миллиметрах и найти синус, косинус, тангенс и котангенс острых углов треугольника с точностью до 0,01.
,одновременно и 
; 
, т. e. cинус данного угла равен косинусу дополнительного угла.
; 
, т.е. косинус данного угла равен синусу дополнительного угла.
; 
,т.е. тангенс данного угла равен котангенсу дополнительного угла.
; 
,т.e. котангенс данного угла равен тангенсу дополнительного угла.
54,9 (см).
; 
; 
(см);
; 
(см)
; 
(точки A, B, С находятся на одной прямой)
, или АВ = 120•tg 44o 
или 
