ГЛАВА   X.

ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ,

§ 104. ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то многоугольник называется вписанным в окружность, а окружность — описанной около многоугольника (черт.  409).

Если все стороны многоугольника являются касательными к окружности, то многоугольник называется описанным около окружности, а окружность называется вписанной в многоугольник (черт.     410).

ГЛАВА   X.

ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ,

§ 105. ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ.

Теорема 1. Около всякого треугольника можно описать окружность.

Описать окружность около треугольника — это значит построить такую окружность, которая проходила бы через его вершины, т. е. через три точки, не лежащие на одной прямой.

В § 69 была решена задача: «Через три точки, не лежащие на одной прямой, провести окружность». При этом было установлено, что задача всегда имеет решение, и только одно.

На этом основании можем утверждать, что около любого треугольника   можно описать окружность, и притом только одну.

Как видно из решения той же задачи, центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения перпендикуляров, восставленных к сторонам треугольника из их середин.

Теорема 2. Во всякий треугольник можно вписать окружность.
Пусть дан /\   ABC (черт. 411). Проведём биссектрисы двух углов треугольника, например угла А и угла В. Опустим из точки их пересечения О перпендикуляры на стороны треугольника ABC: ОМ _|_ АС, OK _|_ AB и  OP _|_ ВС.

Все эти перпендикуляры равны между собой: ОР = О К = ОМ
(так как ОР = ОК и ОМ = ОК, то и ОР = ОМ, § 32).

Следовательно, если из точки О как из центра радиусом, равным ОК, описать окружность, то прямые АВ, ВС и АС будут касательными к окружности О, так как они перпендикулярны к радиусам в конечной их точке на окружности.

Таким образом, окружность О будет вписанной в треугольник ABC.

Следствие. Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

В /\  АВС (черт. 411) соединим центр окружности О с вершиной С треугольника и докажем, что ОС является биссектрисой  /  С.  Для этого сравним два прямоугольных треугольника:  /\  МОС и  /\  РОС. Они   равны по гипотенузе (ОС) и катету   (ОМ = ОР). Следовательно, / 1 = / 2, т. е. ОС является биссектрисой угла С. Таким образом, все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Примечание. Пересечение биссектрис треугольника в одной точке отмечалось еще в начале настоящего курса, но там это свойство было дано без доказательства.

ГЛАВА   X.

ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ,

§ 106. СВОЙСТВА ВПИСАННЫХ И ОПИСАННЫХ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКОВ.

Теорема 1. Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°.

Пусть в окружность с центром О вписан четырёхугольник ABCD (черт. 412). Требуется доказать, что  /  А + /  С = 180° и /  В + /  D = 180°.

/   А, как вписанный в окружность О, измеряется  ¹/₂ BCD.
/   С, как вписанный в ту же окружность, измеряется  ¹/₂ BAD.

Следовательно, сумма углов А и С измеряется полусуммой дуг BCD и BAD в сумме же эти дуги составляют окружность, т. е. имеют  360°. 
Отсюда  /   А + /   С = 360° : 2 = 180°.

Аналогично доказывается, что и /   В + /   D = 180°. Однако это можно вывести и иным путём. Мы знаем, что сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна 360°. Сумма углов А и С равна 180°, значит, на сумму других двух углов четырёхугольника остаётся тоже 180° .

Теорема 2 (обратная). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180°, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Пусть сумма противоположных углов четырёхугольника ABCD равна 180°, а именно
 /  А + /  С = 180° и /  В + /  D = 180°  (черт. 412).

Докажем, что около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство. Через любые 3 вершины этого четырёхугольника можно провести окружность, например через точки А, В и С.   Где будет находиться точка D?

Точка D может занять только одно из следующих трёх положений: оказаться внутри круга, оказаться вне круга, оказаться на окружности круга.

Допустим, что вершина окажется внутри круга и займёт положение D' (черт. 413). Тогда в четырёхугольнике ABCD' будем иметь:

/  В + /  D' = 2d.

Продолжив сторону AD' до пересечения с окружностью в точке Е и соединив точки Е и С, получим вписанный четырёхугольник АВСЕ, в котором по прямой теореме

/  B + /  Е = 2d.

Из этих двух равенств следует:

/  D' = 2d — /  B;
/  E = 2d — /  B;

откуда

/  D' =  / E,

но этого быть не может, так как /  D', как внешний относительно треугольника CD'E, должен быть больше угла Е. Поэтому точка D не может оказаться внутри круга.

Так же доказывается, что вершина D не может занять положение D" вне круга (черт. 414).

Остаётся признать, что вершина D должна лежать на окружности круга, т. е. совпасть с точкой Е, значит, около четырёхугольника ABCD    можно описать   окружность.

Следствия. 1. Вокруг всякого прямоугольника можно описать окружность.

2. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность.

В обоих случаях сумма противоположных углов равна    180°.

Теорема 3.   В   описанном  четырёхугольнике  суммы   противоположных сторон равны. Пусть  четырёхугольник   ABCD    описан   около   окружности (черт.  415), т. е. стороны его АВ, ВС, CD и DA — касательные к этой окружности.

Требуется доказать, что АВ + CD =AD + ВС. Обозначим точки касания буквами М, N, К, Р,   На основании свойств касательных, проведённых к окружности из одной точки (§ 75),  имеем:

АР = АК;
ВР = ВМ;
DN = DK;
CN = СМ.

Сложим почленно эти равенства. Получим:

АР + ВР + DN + CN = АК + ВМ +DK + СМ,

т. е. АВ + CD = AD + ВС, что и требовалось доказать.

Упражнения.

1. Во вписанном четырёхугольнике два противоположных  угла относятся как 3 : 5,
а другие два относятся как 4 : 5. Определить величину этих   углов.

2.  В описанном четырёхугольнике сумма двух противоположных сторон равна 45 см. Остальные две  стороны относятся как 0,2 : 0,3. Найти длину этих сторон.