ГЛАВА VIII. ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ. ПОДОБИЕ ФИГУР

ГЛАВА VIII.

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ. ПОДОБИЕ ФИГУР.

§ 82. ОТНОШЕНИЕ ОТРЕЗКОВ.

1. Определение.

Отношением двух отрезков называется отношение тех чисел, которые выражают длины этих отрезков при условии, что отрезки измерены единицами одного наименования.

В арифметике отношением одного числа к другому называется частное от деления первого числа на второе, поэтому можно сказать, что отношением одного отрезка к другому является частное от деления длины первого отрезка на длину второго, если длины отрезков выражены в единицах одного наименования.

Отношение одного отрезка к другому обычно изображается в виде частного (дроби):  AB/CD.

Если даны два отрезка АВ = 6 см и СD = 4 см, то отношение отрезка АВ к отрезку СD равно  6/4, т. е.

AB/CD = 6/4 ; AB/CD =  1,5.

В этом случае делимое (АВ) называется предыдущим членом отношения,
делитель (СD) — последующим членом отношения, а частное (1,5) — отношением.

Отношение отрезка СD к отрезку АВ равно 4/6, т. е.

CD/AB = 4/6    или   CD/AB = 2/3  

Это отношение в десятичных дробях придётся выражать приближённо: CD/AB ≈ 0,67
(с точностью до 0,01 с избытком), так как CD/AB =0,6666... .

Если длины отрезков выражены приближённо, то отношение тоже получится приближённым.

Пусть АВ ≈  6,5 см, СD ≈  2,7 см, тогда   AB/CD ≈   6,5/2,7 ,   AB/CD ≈ 2,4  (с точностью до 0,1 с недостатком).

2. Независимость отношения от принятой единицы измерения.

Пусть мы имеем два отрезка, длины которых выражены в метрах. Например: АВ = 6 м, ОС = 2 м. Найдём их отношение:

AB/OC = 6/2  = 3;    OC/AB = 2/6 = 1/3

Изменится ли величина отношения, если мы длины этих отрезков выразим в других мерах, например в сантиметрах? Тогда АВ = 600 см, ОС = 200 см. Найдём их отношение:

AB/OC = 600/200  = 3;    OC/AB = 200/600 = 1/3

Отношение отрезков в том и другом случае не изменилось, так как для выражения длин отрезков в сантиметрах мы оба члена отношения АВ и ОС умножили на одно и то же число (на 100). Значит, отношение отрезков не зависит от выбора единиц измерения.

Необходимо лишь, чтобы длины обоих отрезков были выражены мерами одного и того же наименования.

Упражнения.

1. Найти отношение отрезков AВ и СD при условии, если:
а) АВ = 12см, СD = 3 см;
б) АВ = 2 м; СD = 80 см.

2. Найти отношение отрезков АВ и СD с точностью до 0,1 и 0,01 при условии, если:
а) АВ = 7 см, СD = 3 см;
б) АВ = 13 см, СD = 7 см.

3. Измерить отрезки т и п (черт. 350) и найти отношения: m/n  и   n/m .



ГЛАВА VIII.

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ. ПОДОБИЕ ФИГУР.

§ 83. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ.

Из арифметики известно, что равенство двух отношений называется пропорцией. Например: 16/4 = 20/5 ;  2/3 = 4/6  To же самое имеем и в геометрии: если даны две пары отрезков, отношения которых равны, то можно составить пропорцию.

Eсли a/b = 4/3  и c/d = 4/3  (черт. 351), то получим пропорцию a/b = c/d  ;   
отрезки  а, b, c, d  называются пропорциональными.

Отношение a/b называется, как и в арифметике, первым отношением, c/d - вторым отношением; а и d называются крайними членами пропорции, b и с — средними членами.

В пропорции можно поменять местами отношения; можно переставить крайние члены, средние члены; можно переставить те и другие одновременно.

Поскольку в пропорции  a/b = c/d   под  буквами  подразумевают числа, выражающие длины отрезков, то произведение крайних членов её равно произведению средних членов. Отсюда, зная три члена пропорции, можно найти неизвестный четвёртый её член. Так, в пропорции a/x = c/d   x =  a • d/c

Отметим ещё некоторые свойства пропорций, которыми придётся в дальнейшем пользоваться при доказательстве некоторых теорем и при решении задач.

а) Если три члена одной пропорции соответственно равны трём членам другой пропорции, то равны и четвёртые члены этих пропорций.

Eсли  a/b = c/x  и  a/b = c/y  ,то х = у. В самом деле, x =  b • c/a , у = b • c/a , т. е. и х и у равны одному и тому же числу  b • c/a .

б) Если в пропорции равны предыдущие члены, то равны и последующие, т. е. если a/x = a/y , то х = у.

Чтобы убедиться в этом, переставим средние члены в этой пропорции.
Получим: a/a = x/y. Но a/a = 1. Следовательно, и x/y = 1.

А это возможно лишь в том случае, когда числитель и знаменатель дроби равны, т. е.
х = у.

в) Если в пропорции равны последующие члены, то равны и предыдущие, т. е. если x/a = y/a ,  то х = у.

В справедливости этого свойства предлагается вам убедиться самостоятельно. Для этого проведите рассуждение, аналогичное предыдущему.

Упражнения.

1) На чертеже 352 изображены четыре пропорциональных отрезка,
причём AB/СDEF/MN   Определить длину отрезка МN.

2) На чертеже 353 изображены четыре пропорциональных отрезка, причём  a/x = b/y и а = b.  Чему равен у, если х = 28 мм?



ГЛАВА VIII.

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ. ПОДОБИЕ ФИГУР.

§ 84. ПОСТРОЕНИЕ ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫХ ОТРЕЗКОВ.

Теорема. Если две прямые пересень тремя параллельными, прямыми, то отношение двух отрезков, получившихся на одной прямой, равно отношению двух соответствующих отрезков другой прямой.

Пусть две прямые ЕF и ОР пересечены тремя параллельными прямыми АВ, СD и МN (черт. 354).

Требуется доказать, что отрезки АС, СМ, ВD и DN, заключённые между параллельными секущими, пропорциональны, т. е.

AC/CM = BD/DN 

Пусть длина отрезка АС равна р, а длина отрезка СМ равна q.
Например, р = 4 см. и q = 5 см.

Разделим АС и СМ на отрезки, равные 1 см, и из точек деления проведём прямые, параллельные прямым АВ, СD и МN, как это показано на чертеже 354.
Тогда на прямой ОР отложатся равные между собой отрезки (§ 47), при этом на отрезке BD их будет 4, а на отрезке DN — 5.

Отношение АС к СМ равно 4/5 , точно так же и отношение ВD к DN равно 4/5.

Отсюда  AC/CM = BD/DN.

Значит, отрезки АС, СМ, ВD и DN пропорциональны. Пропорциональны также и отрезки АС, АМ, ВD и ВN (налегающие друг на друга),  т. е. AC/AM = BD/BN,
так как AC/AM4/9  и  BD/BN  = 4/9

Теорема будет справедлива и при любых других целых значениях р и q.

Если длины отрезков АС и СМ не выразятся в целых числах при данной единице измерения (например, сантиметре), то надо взять такую более мелкую единицу (например, миллиметр или микрон), при которой длины отрезков АС и СМ практически выразятся в целых числах.

Доказанная теорема справедлива и в том случае, когда одна из параллельных секущих проходит через точку пересечения данных прямых (черт. 355). Она справедлива также и в том случае, когда отрезки откладываются не непосредственно один за другим, а через некоторый промежуток (черт. 356). Справедливость этих предложений доказать самостоятельно.



ГЛАВА VIII.

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ. ПОДОБИЕ ФИГУР.

§ 85. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ.

Задача 1. Построить отрезки, пропорциональные двум данным отрезкам АВ и СD (черт. 356).

Решение. 1. Проводим две произвольные прямые LМ и NК.

2. На одной из них, например на LМ, откладываем отрезки А'В' и С'D', соответственно равные отрезкам АВ и СD.

3. Через точки А', В', С', и D' проводим ряд параллельных прямых в любом направлении, но так, чтобы эти прямые пересекли вторую прямую — NК.

Отрезки ЕF и РQ, получившиеся на второй прямой, пропорциональны данным отрезкам АВ и СD, т. е. AB/CD= EF/PQ .

Задача имеет сколько угодно решений, так как параллельные секущие можно проводить в других направлениях и отрезки ЕF и PQ будут иметь другую длину, оставаясь пропорциональными отрезкам АВ и СD.

Задача 2. Разделить отрезок в данном отношении. Пусть требуется разделить отрезок АВ (черт. 357) на две части так, чтобы они относились, как 4 и 5.

Для этого нужно данный отрезок разделить на 4 + 5 = 9 равных частей. Подобные задачи решались ранее (§ 47). На данном отрезке АВ выделим отрезок АС, равный 4 частям, тогда СВ будет равен 5 таким частям:

AC/CB=  4/5

Упражнения.

1. Три отрезка имеют длину: 10 см, 8 см и 5 см. Какую длину должен иметь четвёртый отрезок, чтобы эти четыре отрезка были пропорциональны?

2. Начертить отрезок и разделить его в отношении 2 к 3.



ГЛАВА VIII.

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ. ПОДОБИЕ ФИГУР.

§ 86. ПОНЯТИЕ О ПОДОБИИ ФИГУР.

На чертежах 358—361 изображены попарно фигуры, которые отличаются своими размерами, но имеют одинаковую форму: на чертеже 358 — равносторонние треугольники, на чертеже 359 — квадраты, на чертеже 360—два круга, на чертеже 361—одна и та же деталь, но изображённая в разных масштабах.

В окружающей нас действительности часто встречаются такие предметы или их изображения, которые бывают сходны по своей форме, но отличаются своими размерами, например отличающиеся размерами фотографии одного и того же лица, карты земной поверхности (черт. 362), планы зданий (черт. 363) и т. д.

Такие фигуры называют подобными. Для обозначения подобия фигур употребляется знак .



ГЛАВА VIII.

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ. ПОДОБИЕ ФИГУР.

§ 87. ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ.

1. Определение подобных треугольников.

Рассмотрим два чертёжных прямоугольных треугольника с острыми углами в 60° и 30° (черт. 364).

Стороны второго треугольника по сравнению с первым уменьшены в два раза:

AB/A'B' = 2;   AC/A'C' = 2;   BC/B'C' = 2.

У этих треугольников углы попарно равны. Стороны, лежащие против равных углов, пропорциональны:

AB/A'B' = AC/A'C' = BC/B'C' =  2.

Такие треугольники называют подобными. Стороны, лежащие против равных углов, называются сходственными.
Таким  образом, подобными называются треугольники, у которых yглы попарно равны, а сходственные стороны пропорциональны.
Подобие треугольников записывается так:   /\  АВС  /\  А'В'С'.

Отношение сходственных сторон подобных фигур называется коэффициентом подобия. В данном случае коэффициентом подобия треугольников АBС и А'В'С' будет число 2.

Если же взять отношения  A'B'/AB = A'C'/AC = B'C'/BC , то   коэффициент подобия будет равен 1/2.

2. Свойство прямой, параллельной какой-либо стороне треугольника.

Проведём в треугольнике АBС прямую DЕ параллельно стороне АС (черт. 365).

Получим треугольник DВЕ. Докажем, что   /\  АВС   /\  DВЕ.
Вследствие параллельности сторон DЕ и АС  /   1 = /  2 и /  3 = /  4. Угол В является общим для этих треугольников. Следовательно, углы этих треугольников попарно равны.

Так как DЕ || АС, то  AB/DB = BC/BE.

Проведём через точку Е прямую, параллельную стороне АВ (черт. 366).

Получим: BC/BE = AC/AK , но АК = DЕ.

Поэтому

BC/BE =  AC/DE

Сопоставляя полученную пропорцию с пропорцией AB/DB = BC/BE получим:

AB/DB = BC/BE =  AC/DE  ,  т.е. 

сходственные стороны треугольников AВС и DВЕ пропорциональны. Раньше было доказано, что углы этих треугольников попарно равны.
 Значит, /\  АВС   /\  DВЕ.

Следовательно, прямая, проведённая параллельно какой-либо стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.



ГЛАВА VIII.

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ. ПОДОБИЕ ФИГУР.

§ 88.   ТРИ ПРИЗНАКА ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ.

Теорема 1. Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого.

Пусть в треугольниках ABC и А'В'С  / A = / А' ;  / В = / B'. 1
Доказать, что /\ АВС  /\ А'В'С (черт. 367).

____________________
 1 В подобных треугольниках вершины соответственно равных углов часто обозначают одинаковыми буквами.

Прежде всего отметим, что из равенства двух углов данных треугольников следует, что и третьи углы их равны, т. е. / C = / С'.

Отложим от вершины В, например, на стороне АВ треугольника ABC отрезок ВМ, равный отрезку А'В'. Из точки М проведём прямую MN || АС. Мы получили /\ MBN, который подобен /\ ABC (§ 87). Но /\ MBN = /\ А'В'С', так как / В =/ В' по условию теоремы; сторона MB = A'B' по построению; / BMN = / A' (/ BMN и / А' порознь равны одному и тому же / А).

Если /\ MBN  /\ AВС, то /\ А'В'С'  /\  ABC. Эта теорема выражает  1-й признак подобия треугольников.

Следствия. 1. Равносторонние треугольники подобны.

2.  Равнобедренные треугольники подобны,   если  они имеют по равному углу при вершине или при основании.

3.  Два прямоугольных треугольника подобны,   если она имеют по равному острому углу.

4.    Равнобедренные    прямоугольные    треугольники подобны.

Теорема 2. Два треугольника подобны, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, лежащие между ними, равны.

Пусть в треугольниках ABC  и А'В'С'   AB/A'B'BC/B'C' и / В =/ В'

Требуется доказать, что /\ ABC  /\  А'В'С' (черт. 368).

Для доказательства отложим, например, на стороне АВ треугольника ABC от вершины В отрезок ВМ, равный отрезку А'В'. Через точку М проведём прямую MN || АС. Полученный треугольник MBN подобен треугольнику ABC (§ 87).
Докажем, что /\  MBN =  /\  А'В'С'. В этих треугольниках  / В =/ В' по условию теоремы, MB = А'В' по построению. Чтобы убедиться в равенстве сторон BN и В'С, составим пропорцию AB/MBBC/BN  (она вытекает из параллельности АС и MN) и сравним её с пропорцией, которая дана в условии теоремы: AB/A'B'BC/B'C'.   В этих двух пропорциях имеется по три равных члена, следовательно, равны и четвёртые их члены,
т. е. В'С' = BN. Отсюда следует равенство треугольников MBN и А'В'С'.
Так как /\  MBN  /\  А'В'С' , то, следовательно, и /\  А'В'С'   /\  АВС.

Эта теорема выражает 2-й признак подобия треугольников.

Следствие. Прямоугольные треугольники подобны, если катеты одного из них пропорциональны катетам другого.

Теорема 3. Два треугольника подобны,  если  три  стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника.

Пусть в треугольниках ABC и А'В'С'   AB/A'B'BC/B'C' = AC/A'C'  (черт.  369).

Требуется  доказать,   что   /\ ABC  /\  А'В'С'

Для доказательства отложим на стороне АВ треугольника ABC от вершины В отрезок ВМ = А'В'. Из точки М проведём прямую MN || АС.  Полученный треугольник MBN подобен треугольнику AВС. Следовательно, AB/MBBC/BN= AC/MN.

Докажем, что  /\ MBN = /\  А'В'С'. Для доказательства сравним две пропорции
AB
/MBBC/NB   и    AB/A'B'BC/B'C' . В этих пропорциях имеется по три равных члена, следовательно, равны и четвёртые   члены их,  т.е. BN = В'С'.   
Сравним   ещё   две пропорции: AB/MBAC/MN  и  AB/A'B' = AC/A'C' . В  этих   пропорциях  также имеется по три равных члена, следовательно, равны и четвёртые члены их, т. е. МN = А'С'.
Оказалось, что три стороны /\ BMN равны трём сторонам /\ А'В'С', а именно:
MB = А'В'; BN = В'С' и MN = А'С'.
Следовательно, /\ MBN = /\ А'В'С', а  /\ ABC  /\  А'В'С' С.

Эта теорема  выражает 3-й признак   подобия  треугольников.

Упражнения.

1.  В двух подобных треугольниках ABC и А'В'С' стороны АВ, ВС и АС соответственно равны 20 см, 18 см и 15 см. Сторона А'С' треугольника А'В'С' равна 10 см. Чему равны стороны А'В' и В'С'?

2.  Треугольники ABC и А'В'С' подобны. Стороны АВ, ВС и АС треугольника ABC соответственно равны 20 см, 15 см и 12 см. Коэффициент подобия треугольников равен 2,5. Вычислить периметр треугольника А'В'С'. (Два решения.)



ГЛАВА VIII.

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ. ПОДОБИЕ ФИГУР.

§ 89. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ
ПОДОБНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ.

Свойства подобных треугольников очень широко применяются на практике. Они находят своё применение при изготовлении различных приборов, механизмов, при проведении измерительных работ, при решении различных задач на вычисление и построение. Ниже приводится описание некоторых таких работ.

1. Деление отрезка на равные части с помощью пропорционального циркуля.

Пропорциональный циркуль применяется в тех случаях, когда нужно небольшой отрезок разделить на несколько равных частей (черт. 370).

Состоит пропорциональный циркуль из двух ножек одинаковой длины, скреплённых таким образом, что они могут вращаться вокруг винта О. Кроме того, благодаря прорезям этот винт может перемещаться, вследствие чего размеры плеч ножек могут изменяться по нашему желанию; таким образом, отношения  AO/OB и CO/OD  могут быть выбраны произвольно.

Предположим, нам нужно разделить отрезок на пять равных частей (черт. 371).

Для этого винт О должен быть укреплён таким образом, чтобы отношение плеч
AO
/OB и CO/OD   равнялось 5.

Это легко сделать по тем делениям и цифрам, которые проставляются по краям прорезей. Затем ножки циркуля раздвигаются и устанавливаются так, чтобы концы ножек А и С совпадали с концами данного отрезка т. Тогда расстояние между ножками D и В будет составлять 1/5 отрезка т.  Это следует из подобия треугольников АОС и DOB. Затем циркуль поворачивается и на отрезке т откладывается отрезок DB; он отложится ровно 5 раз.

2. Построение и измерение отрезков с помощью поперечного масштаба.

Для построения и измерения отрезков с возможно большей степенью точности применяется прибор, называемый поперечным масштабом. Устройство его видно из чертежа 372.

На произвольной прямой ОК от точки О откладываются вправо отрезки, принятые за единицу.   Влево от точки О откладывается такой же единичный отрезок ОВ. В точке В к прямой ВК восставляется перпендикуляр, на котором от точки В откладывается 10 равных произвольных отрезков, и через полученные точки деления 1, 2, 3,...., 10 проводятся прямые, параллельные прямой ВК. Из точек 0, 1, 2, 3 прямой ОК проводятся к ней перпендикуляры, пересекающие проведённые параллельные прямые. Отрезок ОВ делится на 10 равных частей, как и отрезок AD. Затем точки деления нижнего отрезка ОВ соединяются с точками деления верхнего отрезка AD, но так, чтобы нулевое деление нижнего отрезка было соединено с первым делением верхнего отрезка, а деление 1 нижнего отрезка — с делением 2 верхнего отрезка и т. д.

«Цена» (значение) делений на поперечном масштабе такова: каждое деление между наклонными параллелями равно 0,1; деления внутри треугольника с вершиной О соответственно равны 0,01; 0,02 и т. д.

Используют поперечный масштаб следующим образом: если нужно на данной прямой построить отрезок, равный, например, 1, 4 единицы, то помещают одну ножку циркуля в точку с цифрой 1 на луче О К, а другую ножку циркуля— в точку, помеченную на отрезке ВО цифрой 4. Получается отрезок, равный 1,4 единицы, который и переносится  на  указанную  прямую.

Если нужно построить отрезок, равный 2,35 единицы, то помещают одну ножку циркуля в точку пересечения перпендикуляра, помеченного цифрой 2 (на луче OK), и горизонтальной параллели, помеченной цифрой 5. Затем вторую ножку циркуля устанавливают на пересечении параллели 5 с прямой, идущей от деления 3 нижнего отрезка ВО (черт. 372). Получаем отрезок MN, равный 2,35 единицы, который переносится на указанную прямую.

Если требуется измерить какой-нибудь отрезок СР, данный вне поперечного масштаба, то поступаем так:

1.  Ставим ножки циркуля в точки С и Р, затем переносим циркуль на поперечный масштаб, помещая   одну   ножку   на   такую отметку луча ОК, чтобы другая ножка оказалась внутри отрезка ВО.

2.   Передвигаем циркуль параллельно   ВК до  того  момента, когда вторая ножка окажется   на   одной  из   наклонных   параллелей.

3.   По местоположению ножек циркуля определяем длину отрезка  СР.

3.   Определение высоты предмета.

Пусть нужно определить высоту какого-нибудь предмета, например высоту дерева (черт.373).

Поставим по отвесу на горизонтальной площадке на некотором расстоянии от основания дерева шест с вращающейся планкой (изображённый на чертеже отдельно), планку установим по направлению на вершину дерева, как это показано на чертеже 373. Отметим на поверхности земли точку В, являющуюся точкой пересечения прямой A'A с горизонтальной   площадкой.

Прямоугольные треугольники А'С'В и АСВ подобны, так как они имеют по равному острому углу В. Измерив расстояния С'В и СВ и найдя отношение их, мы найдём коэффициент подобия этих треугольников.
Например, если расстояние С'В = 18 м, а СВ = 1,5 м, то коэффициент подобия будет   равен 18/1,5 = 12. Если длина катета АС составит, например, 1,8 м, то высота дерева составит   1,8 •12 = 21,6  (м).

4. Определение расстояния  до недоступной точки.

Пусть надо определить расстояние от пункта А до В, находящегося где-нибудь в недоступном месте, например на островке, окружённом водой (черт. 374). Примем пункты А и В за геометрические точки. Провешим по возможности на ровном месте отрезок
АС и измерим его. Пусть длина отрезка составит, например, 120 м.

Измерим с помощью астролябии углы A и С. Пусть они составят 62° и 54°. На листе бумаги в масштабе 0,001 построим треугольник А'В'С' с углами в 62° и 54° (черт.375). Этот треугольник будет подобен треугольнику ABC. Коэффициент подобия их будет равен 1000. На чертеже измерим отрезок А'В'. Пусть длина его будет равна 142 мм. Помножив длину А'В' на коэффициент подобия этих треугольников, получим:
142 • 1000 = 142 000 (мм), что составит 142 м. Это и будет искомое расстояние от пункта А до пункта В. В целях достижения наибольшей точности необходимо особенно тщательно измерить углы треугольника ABC и, кроме того, отрезок АС взять таким образом, чтобы /  B не был слишком мал, так как тогда значительно уменьшится точность результата.

Практические   работы.

1.    Сделать   в   мастерской   металлический   пропорциональный циркуль.

2.   Начертить поперечный масштаб, приняв за единицу 1 дм.

3.   Определить  расстояние  до  какого-нибудь  недоступного пункта.

4.  Определить высоту какого-нибудь предмета: здания, мачты, дерева.



ГЛАВА VIII.

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ. ПОДОБИЕ ФИГУР.

§   90. ПОДОБИЕ МНОГОУГОЛЬНИКОВ.

Два одноимённых многоугольника называются подобными, если углы одного из них соответственно равны углам другого, а сходственные стороны многоугольников пропорциональны.

Одноимёнными называются многоугольники, имеющие одинаковое  число  сторон   (углов).

Сходственными    называются стороны   подобных   многоугольников,  соединяющие вершины соответственно равных углов (черт. 376).

Так, например, чтобы многоугольник ABCDE был подобен многоугольнику A'B'C'D'E', необходимо, чтобы:  /  A = /  A';   /  B = /  B';   /  С = /  С';   /  D = /  D';    /  Е = /  Е'  и,  кроме того, AB/A'B' = BC/B'C' = CD/C'D' = DE/D'E' =  EA/E'A'  .

Упражнения.

1.  Будут ли подобны два любых квадрата?

2.  Будут ли подобны два любых прямоугольника?

3.  Будут ли подобны два любых ромба.

Теорема. Два подобных многоугольника диагоналями, проведёнными из вершин любой пары соответственно равных углов, разбиваются на одинаковое число подобных треугольников.

Пусть многоугольники ABCDE и A'B'C'D'E' подобны (черт. 377),
т. е.  AB/A'B' = BC/B'C' = CD/C'D' = DE/D'E' =  EA/E'A'    и   /  A = /  A';   /  B = /  B';   /  С = /  С';   /  D = /  D';    /  Е = /  Е'

В обоих многоугольниках из вершин каких-нибудь соответственно равных углов, например из вершин А и А', проведём диагонали. Мы видим, что многоугольники разбились на одинаковое число треугольников. Докажем, что эти треугольники подобны, а именно:  /\ AВС /\ A'В'С';  /\ ACD /\ A'C'D' и /\ ADE /\ A'D'E'.

Подобие треугольников ABC и А'В'С' вытекает из равенства углов В и В' и пропорциональности сторон  AB/A'B' = BC/B'C' .

Рассмотрим треугольники ACD и A'C'D'. Из подобия треугольников ABC и А'В'С' следует, что /  l = /  3. В данных многоугольниках /  C = /  С', поэтому и
/  C— /  l = /  C— /  3, т. e.  /  2 = /  4; из подобия тех же треугольников следует, что
BC/B'C' = AC/A'C'   . В то же время из условия теоремы имеем:  BC/B'C' = DC/D'C' ; так как первые отношения этих пропорций равны, то должны быть равны и вторые отношения их, т. е. AC/A'C'  = DC/D'C' .

В треугольниках ACD и A'C'D' имеем по равному углу, заключённому   между   пропорциональными сторонами,   следовательно,

/\ ACD /\ A'C'D'

Подобие треугольников ADE и A'D'E' следует из того, что /  E = /  E' (по условию) и   AE/A'E' =  ED/E'D' =    (по определению подобных многоугольников). Таким образом, эти треугольники имеют по равному углу, заключённому между пропорциональными сторонами.  Следовательно,  /\ AED /\ A'E'D'.  Теорема доказана.

Замечание. Подобные треугольники расположены в подобных многоугольниках в одном и том же порядке.

Мы рассмотрели два подобных пятиугольника. Таким же путём может быть построено доказательство для любых подобных многоугольников.

Упражнение.

Дано (черт.    377):  /\ AВС /\ A'В'С';  /\ ACD /\ A'C'D' и /\ AED /\ A'E'D'

Доказать, что многоугольники ABCDE и A'B'C'D'E' подобны.

 



ГЛАВА VIII.

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ. ПОДОБИЕ ФИГУР.

§ 91. ОТНОШЕНИЕ ПЕРИМЕТРОВ ПОДОБНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ.

Сначала рассмотрим свойство ряда равных отношений. Пусть имеем, например, отношения:  2/1 = 4/2 = 6/3 = 8/4 =2.

Найдем сумму  предыдущих  членов  этих  отношений, затем — сумму их последующих членов и найдём отношение полученных сумм, получим:     

.

То же самое мы получим, если возьмём ряд каких-нибудь других отношений, например: 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12 = 10/15  = 2/3 Найдем сумму предыдущих членов этих отношений и сумму последующих, а затем найдём отношение этих сумм, получим:

В том и другом случае сумма предыдущих членов ряда равных отношений относится к сумме последующих  членов этого же ряда, как предыдущий член любого из этих отношений относится к своему  последующему.

Мы вывели это свойство, рассмотрев ряд числовых примеров. Оно может быть выведено строго и в общем виде.

Теперь рассмотрим отношение периметров подобных многоугольников.

Пусть      многоугольник  ABCDE   подобен  многоугольнику A'B'C'D'E' (черт. 378).

 Из подобия этих многоугольников следует,   что
AB
/A'B' = BC/B'C' = CD/C'D' = DE/D'E' =  EA/E'A'    
На  основании выведенного   нами   свойства   ряда   равных   отношений     можем написать:  

Сумма предыдущих членов взятых нами отношений представляет собой периметр первого многоугольника (Р), а сумма последующих членов этих отношений представляет собой периметр второго многоугольника (Р'),   значит, P/P'  = AB/A'B' .

Следовательно, периметры подобных многоугольников относятся как их сходственные стороны.

 



ГЛАВА VIII.

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ. ПОДОБИЕ ФИГУР.

§ 92. ОТНОШЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПОДОБНЫХ ФИГУР.

1. Отношение площадей квадратов.

Рассмотрим отношение площадей двух квадратов. Если сторону одного квадрата обозначим через т, а сторону другого — через п, то площади будут соответственно равны
т2 и п2 (черт. 379).

Обозначив площадь первого квадрата через S, а  площадь  второго  через S',   получим: S/S' = m2/n2 ,   т.  е.   площади квадратов относятся  как квадраты их сторон.

Полученную формулу можно преобразовать так: S/S' =  ( m/n)2 .

Значит, можно  сказать,  что отношение площадей двух квадратов равно квадрату отношения их сторон.

На чертеже 379 отношение сторон квадратов равно 3, отношение их площадей равно
32 = 9.

2. Отношение площадей двух подобных треугольников.

Пусть /\ AВС /\ A'В'С' (черт.   380). Из  подобия треугольников следует, что
/  A = /  A' ,   /  B = /  B' и  /  С = /  С' .  Кроме того, AB/A'B' = BC/B'C' =  AC/A'C'.     

В этих треугольниках из вершин В и В' проведём высоты и обозначим их через h и h'. Площадь первого треугольника будет равна AC•h/2, а площадь второго  треугольника  A'C'•h'/2.

Обозначив площадь первого треугольника через S, а площадь второго — через S'  получим:  S/S' =  AC•h/A'C'•h'   или S/S'  = AC/A'C'  • h/h'

Из подобия треугольников АВО и А'В'О' (они подобны, потому что прямоугольные, и, кроме того, имеют по равному острому углу, а именно /  A = /  A' ) следует:
h
/h'  = AB/A'B'  . Но  AB/A'B' = AC/A'C' . Следовательно, h/h'  = AC/A'C'. Заменив в формуле S/S'  = AC/A'C'  • h/h'   отношение h/h'   равным ему отношением AC/A'C' , получим:
S/S'  = AC/A'C'  • AC/A'C' , или  .

Итак, площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон.

Полученную формулу можно преобразовать так: S/S'  = (AC/A'C' )2.

Значит, можно сказать, что отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату отношения их сходственных сторон.

3. Отношение площадей подобных многоугольников.

Пусть ABCDE   и   A'B'C'D'E' — подобные     многоугольники (черт. 381).

Известно, что /\ AВС /\ A'В'С';  /\ ACD /\ A'C'D' и /\ ADE /\ A'D'E' (§90).  
 Кроме  того,

 ; 

Так как вторые отнoшения этих пропорций равны, что вытекает из подобия   многоугольников, то

Используя   свойство   ряда   равных   отношений   получим:

, или

где S и S' — площади данных подобных многоугольников.

Следовательно, площади подобных многоугольников относятся как квадраты сходственных сторон.

Полученную формулу можно преобразовать к такому виду:  S/S'  = (/A'В' )2

Упражнения.

1. Сторона первого квадрата больше стороны второго квадрата в 2 раза (в 5 раз). Во сколько раз площадь первого квадрата больше площади второго квадрата?

2.  Сторона первого квадрата составляет 1/3  (0,1) стороны второго квадрата. Какую часть площадь первого квадрата составляет от площади второго квадрата?

3.  Коэффициент подобия в подобных многоугольниках равен 4 (1/5; 0,4; 2,5). Чему равно отношение их площадей?

4.  Отношение площадей подобных многоугольников равно 36 (100; 0,09). Чему равно отношение сходственных сторон этих многоугольников?

 



ГЛАВА VIII.

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ. ПОДОБИЕ ФИГУР.

§ 93. ПОСТРОЕНИЕ ПОДОБНЫХ ФИГУР.

1. Построение подобных треугольников.

Мы уже знаем, что для построения треугольника, подобного данному, достаточно из какой-нибудь точки, взятой на стороне треугольника, провести прямую, параллельную стороне треугольника. Получим треугольник, подобный данному (черт. 382):

     

/\ AСВ /\ A'С'B'

2. Построение подобных многоугольников.

Для построения многоугольника, подобного данному, мы можем поступить таким образом: разобьём данный многоугольник диагоналями, проведёнными из какой-либо его вершины, на треугольники (черт. 383). На какой-нибудь стороне данного многоугольника ABCDE, например на стороне АЕ, возьмём какую-нибудь точку E' и проведём прямую, параллельную стороне ED, до пересечения её с диагональю AD, например, в точке D'.

Из точки D' проведём прямую, параллельную стороне DC, до пересечения её с диагональю АС в точке С'. Из точки С' проведём прямую, параллельную стороне СВ, до пересечения со стороной АВ в точке В'. Полученный многоугольник AB'C'D'E' подобен данному многоугольнику ABCDE.

Справедливость этого утверждения доказать самостоятельно.

Если требуется построить многоугольник, подобный данному, с указанным  коэффициентом подобия, то исходная точка Е' берётся на стороне АЕ или её продолжении соответственно данному коэффициенту подобия.

3. Съёмка  плана  земельного участка.

а) Съёмка плана производится с помощью особого прибора, называемого мензулой (черт.   384).

Мензула представляет собой квадратную доску, помещённую на треножнике. При вычерчивании плана доска приводится в горизонтальное положение, что проверяется с помощью уровня. Для проведения прямых линий по нужному направлению употребляется алидада, снабжённая диоптрами. В каждом диоптре имеется прорезь, в которой натянут волосок, что позволяет достаточно точно наводить алидаду в нужном направлении. На мензулу кнопками укрепляют лист белой бумаги, на котором и вычерчивается план.

Для того чтобы снять план с земельного участка ABCDE, выбирают внутри участка какую-нибудь точку О так, чтобы из неё были видны все вершины земельного участка (черт. 385).

С помощью вилки с отвесом (черт. 386) устанавливают мензулу так, чтобы точка О, отмеченная на листе бумаги, приходилась против избранной на участке точки О.

Затем из точки О на листе бумаги, прикреплённом к мензуле, прочерчивают при помощи алидады лучи в направлениях на точки А, В, С, D и Е; измеряют расстояния
ОА, ОВ, ОС, OD и ОЕ и откладывают на этих лучах в принятом масштабе отрезки
ОА', ОВ', ОС, OD' и ОЕ'.

Точки А', В', С, D' и Е' соединяют. Получается многоугольник A'B'C'D'E', представляющий собой план данного земельного участка в принятом масштабе.

Описанный нами способ мензульной съёмки называется п о л я р н ы м.

Существуют и другие способы съёмки плана с помощью мензулы, о которых можно прочитать   в специальных руководствах по мензульной съёмке.

На каждом плане обыкновенно даётся масштаб, по которому можно установить истинные размеры снятого участка, а также и его площадь.

На плане также указывается направление стран света.

Практическая работа.

а) Сделать в школьной мастерской простейшую модель мензулы и снять с её помощью план какого-нибудь небольшого земельного участка.

б) Съёмку плана земельного участка можно произвести с помощью астролябии.

Пусть надо снять план земельного участка ABCDE. Возьмём одну из вершин участка, например А, за исходную и с помощью астролябии измерим углы при вершине А, т. е.
/  1, /  2, /  3 (черт.  387).

Потом с помощью мерной цепи измерим расстояния АЕ, AD, АС и АВ. В зависимости от размеров участка и размеров листа бумаги, на который наносится план, выбирается  масштаб для вычерчивания плана.

При точке А , которую принимаем за вершину многоугольника, строим три угла, соответственно равные /  1, /  2 и /  3; затем в выбранном масштабе на сторонах этих углов от точки А' откладываем отрезки А'Е', A'D', А'С' и А'В'. Соединив отрезками точки А' и Е', Е' и D', D' и С, С' и В', В' и А', получим многоугольник A'B'C'D'E', подобный многоугольнику ABCDE. Это будет план данного земельного участка, начерченный в избранном масштабе.

Дальше >>>